基数とか

誤りだった“プログラマー35歳定年説”─実は「16進数」 - bogusnews
これを見て気になったので書いてみる。

35₁₆ = 53₁₀
っておもしろい関係だよねと。

これと同じような関係になる数字は他にあるのだろうか。
気になったから解いてみる。

命題 ab₁₆=ba₁₀を満たす整数(a, b)を求めよ。ただし、a, bは1以上9以下の整数とする。

与式を変形する。
16a + b = 10b + a
15a = 9b
5a = 3b　… (1)

これより、(a, b) = (5, 3)が解であることは分かる。てか自明。
他に解はあるのだろうか。

式(1)より、
(a, b) = (3k, 5k)
と書ける(kは整数)。

ただし、a, b は1以上9以下の整数である。
この条件は、k = 1の時のみ満たされる。
よって、(a, b) = (5, 3)が唯一の解であることが分かる。
(終)

これじゃ中学数学だなー。
もうちょっとレベルを上げてみる。

命題 ab_n=ba_mを満たす整数(a, b)を求めよ。ただし、(n, m)は 1 ≤ n < mを満たす整数であり、a, bは1以上n以下の整数とする。

与式より、
na + b = mb + a
(n-1)a = (m-1)b　… (2)

あれ？意外とレベルが高いかも。
今日は時間が無くなったので、続きはまた今度。

…解けるかな…